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MPA S2 Algèbre 2015, contrôle terminal mai 2015
Note: Il est inutile d'apprendre par coeur les démonstrations. Il est très utile de
les comprendre.
- Toutes les définitions sont à connaître et peuvent faire l'objet d'une question. Programme : tout ce qui a été vu
en algèbre linéaire ce semestre.
- Il y aura quelques calculs sur des nombres complexes.
Liste des questions de cours avec démonstration à savoir pour le contrôle continu de mai 2015.
- La signature d'un produit de permutations est égal au produit des signatures des permutations.
- Définition d'une n-forme linéaire alternée (pour n=4).
- Si on a une n-forme linéaire alternée, alors le
déterminant change de signe quand on permute deux colonnes (pour n=4)
- Démonstration de la règle de Sarrus à partir de la formule générale du déterminant.
- A est inversible si et seulement si det(A) est
non nul.
- Déterminant de van der Monde.
- Formule donnant la dimension d'une somme directe.
- Formule donnant la dimension d'une somme d'espaces vectoriels E+F.
- La composée d'applications linéaires est linéaire.
- Le noyau d'une application linéaire est un sous-espace vectoriel.
- L'inverse d'une application linéaire bijective est linéaire.
- Une application linéaire est injective si et seulement si son noyau est nul.
- En dimension finie n, une famille libre de n vecteurs est une base, une famille génératrice de n vecteurs est une base.
- Tous les corollaires du théorème du rang.
- Le rang de la composée de deux applications linéaires g et f est inférieur au minimum (rang(f),rang(g)).
- Le noyau d'une forme linéaire non nulle est un hyperplan.
- Formules de changement de base pour les matrices des endomorphismes.
- L'espace vectoriel des suites récurrentes d'ordre 2 est de dimension 2.
- Les valeurs propres d'une matrice sont les racines du polynôme caractéristique.
- Deux matrices semblables ont même déterminant, même polynôme caractéristique et même trace.
- Deux vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes forment un système libre.